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\theoremstyle{plain}
\newtheorem{thm}{정리}
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\newtheorem{rmk}{주의}
	
\renewcommand\proofname{증명(Proof)}

\begin{document}

% \begin{center}\sffamily\bfseries\LARGE
% 여러가지 부등식
% \end{center}

% \bigskip
 
\title{여러 가지 부등식}
\author{}
\date{}
\maketitle

\begin{thm}[젠센 부등식]
구간 $I$에서 볼록 함수 $f(x)$가 2회 연속적으로 미분가능하면,
구간 $I$의 임의의 점 $x_1,\cdots, x_n$과 $\lambda_1+\cdots+\lambda_n=1$인
임의의 양수 $\lambda_j$들에 대해서
\begin{equation}\label{four}
f(\lambda_1 x_1+\cdots+\lambda_nx_n)\le \lambda_1f(x_1)+\cdots+\lambda_nf(x_n)
\end{equation}
이 성립한다. 위 부등식에서, $f''(x)>0$인 경우, 등호는 $x_1=\cdots=x_n$일 때만 성립한다. 
\end{thm}
\begin{proof}
주어진 가정에 의해서 
\[
t=\lambda_1 x_1+\cdots+\lambda_nx_n
\]
이라 놓으면,  $t$는 $I$에 속하고, 평균치  정리에 의해서 $I$의 임의의 점 $u$에
대해서 적당한 $\zeta$가 $u$와 $t$사이에  존재하여
\begin{equation}\label{five}
f'(u)-f'(t)=f''(\zeta)(u-t)
\end{equation}
가 성립한다. 가정에 의해서 $f''(x)$는  연속이므로, $t$와 $x_j$를 끝 점으로 갖는
폐구간에서 최소값을 갖는다. 그것을  $m_j$로 놓고 \eqref{five}의 양변을 $u=t$에서
$u=x_j$까지 적분하면
\[
f(x_j)-f(t)-f'(t)(x_j-t)\ge\frac12 m_j(x_j-t)^2
\]
이 성립함을 알 수 있다. 위 식의 양변에 $\lambda_j$를 곱하고 $j=1$에서 $j=n$까지 
더하면 
\begin{equation}\label{six}
\lambda_1f(x_1)+\cdots+\lambda_nf(x_n)-f(t)\ge
  \frac12 \sum_{j=1}^{n} \lambda_j m_j(x_j-t)^2
\end{equation}
을 얻는다. 볼록성에 의하여 각 $m_j$는 음이 아니므로 \eqref{four}\는 \eqref{six}의 결과이다.
한편, $f''(x)>0$인 경우, 각 $m_j$는 양이므로 \eqref{six}\으로부터 \eqref{four}에서 등호가 성립하는
경우는 $x_1=\cdots=x_n=t$인 경우 뿐임을 알 수 있다.
\end{proof}

\begin{rmk}
젠센 부등식은 일반적으로 미분 가능성에 대한 가정 없이도 성립한다.
그러한 경우, 다음과 같이 수학적 귀납법을 사용하여  증명할 수 있다. 
\end{rmk}
 
\begin{proof}
$f(x)$를 구간 $I$에서 볼록인 함수라고 하자. $n=2$일 때 $f(x)$는 볼록이므로 
\[
 f(\lambda_1x_1+\lambda_2x_2)=f(\lambda_1x_1+(1-\lambda_1)x_2)
\le\lambda_1f(x_1)+(1-\lambda_1)f(x_2)
\]
가 되어 성립한다. 이제 $t_1 +\cdots +t_n=1$이고, $t_i\ge 0$이면  
\[
 f(t_1x_1\cdots +t_nx_n)\le t_1f(x_1)\cdots +t_nf(x_n)
\]
이라고 가정하고 $n+1$인 경우를 생각하자. 
$\lambda_1 +\cdots +\lambda_{n+1}=1$이고, $\lambda_i\ge 0$이라고 가정하자. 그러면, 
일반성을 잃지않고 $\lambda_{n+1}<1$이라 가정할 수 있다. 따라서 
\begin{eqnarray*}
\lefteqn{\lambda_1f(x_1)+\cdots +\lambda_{n+1}f(x_{n+1})}\\
  &=&(1-\lambda_{n+1})\left[\frac{\lambda_1}{1-\lambda_{n+1}}f(x_1)+\cdots 
     +\frac{\lambda_n}{1-\lambda_{n+1}}f(x_n)\right]
     +\lambda_{n+1}f(x_{n+1})\\
  &\geq &(1-\lambda_{n+1})f\left(\frac{\lambda_1}{1-\lambda_{n+1}}x_1+\cdots 
     +\frac{\lambda_n}{1-\lambda_{n+1}}x_n\right)
     +\lambda_{n+1}f(x_{n+1})\\
  &\geq &f(\lambda_1x_1+\cdots +\lambda_nx_n +\lambda_{n+1}x_{n+1})
\end{eqnarray*}
이 되므로 증명이 끝난다. 
\end{proof}


\begin{thm}[준가법적 부등식] 
실수 전체에 정의된 함수 $f(x)$가 임의의 실수 $a$, $b$에 대해서 
\[
f(a+b)\le f(a)+f(b)
\]
를 만족할 때 $f(x)$는 준가법적이라 불리운다.\\
실수 위의 증가 함수 $f(x)$가 $f(0)=0$이고 $|f(x)|\le c$이면, 함수 $c+f(x)$와
$c-f(x)$는 각각 준가법적이다. 즉, 임의의 실수 $a$, $b$에 대해서 
\[
f(a+b)-c\le f(a)+f(b)\le f(a+b)+c
\]
이다.
\end{thm}
\begin{proof}
이것은 $a\ge b\ge 0,$ $a\ge 0\ge b$, $ 0\ge a\ge b$인 세 경우로 나누어 생각하면 쉽게
알 수 있다. 자세한 것은 연습으로 남겨둔다. 
\end{proof}



\begin{thm}[체비세프 부등식] 
$x_1\le x_2\le \cdots\le x_n$이고 $y_1\le y_2\le \cdots\le y_n$이면 
\[
\sum_{i=1}^n x_iy_i \ge \frac1n \left(\sum_{i=1}^n x_i\right)
  \left(\sum_{i=1}^n y_i\right).
\]
단, 등호는 $x_1=\cdots=x_n$ 또는 $y_1=\cdots=y_n$일 때만 성립한다.
\end{thm}


\begin{proof}
수학적 귀납법으로 증명한다. 우선 $n=2$인 경우는 
\[
x_1y_1+x_2y_2-\frac 12(x_1+x_2)(y_1+y_2)=\frac12(x_2-x_1)(y_2-y_1)\ge0.
\]
$n>3$이고 $(n-1)$인 경우에 주어진 부등식이 성립한다고 가정하자. 편의상,
\[
x=x_1+\cdots+x_n, \qquad y=y_1+\cdots+y_n
\]
으로 놓으면 $x_n\ge x/n$, $y_n\ge y/n$이므로, 귀납법의 가정에 의해서 
\begin{eqnarray*}
\sum_{i=1}^n x_iy_i - \frac{ xy}n
&=&\sum_{i=1}^{n-1} x_iy_i +x_ny_n-\frac{xy}n\\   
&\ge&\frac1{n-1}(x-x_n)(y-y_n)+x_ny_n-\frac{xy}n\\
&=&\frac{(nx_n-x)(ny_n-y)}{n(n-1)}\ge0. 
\end{eqnarray*}
등호가 성립하는 경우는 $x_n=x/n$ 또는 $y_n=y/n$인 경우이고, 전자의 경우엔 
$x_1=\cdots=x_n$, 후자의 경우엔 $y_1=\cdots=y_n$이다. 
\end{proof}


\begin{thm}[슈르 부등식] 
$x$, $y$, $z$, $n>0$이면 
$$x^n(x-y)(x-z)+y^n(y-z)(y-x)+z^n(z-x)(z-y)\ge0$$ 
이다. 단, 등호는 $x=y=z$일 때만 성립한다.
\end{thm}

\begin{rmk}
$n$은 정수일 필요가 없음에 주의하라. 
\end{rmk}


\begin{proof}
대칭성에 의해서 $x\ge y\ge z$라 가정할 수 있다 . 그러면 
\begin{eqnarray*}
x^n(x-y)(x-z)&=&x^n(x-y)^2+x^n(x-y)(y-z),\\
y^n(y-z)(y-x)&=&-y^n(y-z)(x-y),\\
z^n(z-x)(z-y)&=&z^n(x-z)(y-z)
\end{eqnarray*}
이므로, 변변 더하면 
\begin{equation}\label{eq:a}
\text{준식의 좌변} = x^n(x-y)^2+(x^n-y^n)(x-y)(y-z)+z^n(x-z)(y-z)\ge0.
\end{equation}
위 식 \eqref{eq:a}\으로부터 등호는 $x=y=z$일 때만 성립함을 쉽게 알 수 있다.
\end{proof}

\begin{thm}[재배열 부등식]
$r_1\le r_2\le\cdots\le r_n$이고 $s_1\le s_2\le\cdots\le s_n$이라 하자. 그러면 임의의
$s_1, s_2,\cdots, s_n$의 순열 $t_1,t_2,\cdots,t_n$에 대해서 
\[
r_1s_n+\cdots+r_ns_1\le r_1t_1+\cdots+r_nt_n\le r_1s_1+\cdots+r_ns_n
\]
이다.
\end{thm}
\begin{proof}
만약에 $k<m$이고 $t_k>t_m$이라 하면, 
\[
(r_m-r_k)(t_k-t_m)\ge 0
\]
이므로 
\[
r_kt_k+r_mt_m\le r_mt_k+r_kt_m
\]
이다. 즉, $t_k$와 $t_m$의 위치를 바꿈으로써 $r_1t_1+\cdots+r_nt_n$의 값은
증가한다. 이와 같은 과정을 유한번 반복 시행하면 $r_1t_1+\cdots+r_nt_n$의 값은
$t_1\le \cdots\le t_n$일 때 최대이다. 즉, 오른쪽 부등식이 성립한다. 같은 방법으로 왼쪽
부등식도 성립한다. 
\end{proof}

\end{document}
