일단 줄바꿈이 발생하면, 텍은 그 브레이크포인트 다음에 나오는 모든 discardable 아이템들을 제거 한다. 언제까지? non-discardable 아이템 혹은 새로운 브레이크포이트 까지. 예를들어, 글루나 페날티 여러 개가 연달아 나오면 그들을 마치 하나의 글루 혹은 페널티로 취급한다. 그리고 수식의 시작 및 끝은 \mathsurround에 정해진 값에 의해서 간격을 가질 수 있는데, 그 간격들은 수식이 문단의 제일 앞에 나오면 수식 시작에 나오는 간격이, 문단의 제일 마지막에 나오면, 수식의 마지막에 나오는 간격은 없어진다. 이는 당연한 것 같다.

주어진 줄에 있는 단어들 사이의 간격의 보기 좋고 나쁨을 나타내는 badness를 보다 수학적으로 알아보자. 줄의 badness는 정수 값인데, 그 줄에 있는 글루들이 늘어나거나 줄어드는 비율의 세제곱의 대략 100배이다. 무슨 말인지 예를들어 설명하면, 어떤 한 줄이 있고, 그 줄에 들어있는 글루들이 줄어들 수 있는 한계가 10이고, 실제로 9만큼 줄어들었다면, 그 줄의 badness는 73 (100 X (9/10)^3 = 72.9)이다. 같은 맥락으로, 어떤 줄의 글루가 늘어날 수 있는 한계보다 두배만큼 늘어나면 그 줄의 badness는 800 (100 X 2^3)이 된다. 그런데, 이와 같은 수식 계산으로 badness를 구할 때 그 값이 10000을 넘을 때가 있다. 이 경우의 badness는 10000으로 한다. Overfull 박스들은 badness가 10000인 것으로 간주되서, 가능하면 그러한 박스들이 생기지 않도록 해야한다.

어떤 줄의 badness가 13이상일때, 그 줄을 tight 혹은 loose 하다고 하고, 100이상일때 very loose 하다고 한다. 12이하일때는 decent라고 한다. 그리고 tight한 줄 다음에 loose 나 very loose 한 줄이 나오거나, decent한 줄 다음에 very loose한 줄이 나오면, 그 이웃한 줄들을 visually incompatible 하다고 한다. 이제 줄바꿈 알고리즘이 거의 그 실체를 드러낼때가 되었다. 텍은 줄바꿈 지점들의 집합을 여러개 가지고 있고, 그 집합들을 예비 브레이크포인트 집합이라고 하고, 예비 브레이크포인트 집함에서 각 브레이크포이트가 가지는 디메리트(demerit)의 합이 최소가 되는 브레이크포인트 집합을 선택 하는 것이 바로 줄바꿈 알고리즘이다. 메리트의 개념에 대해서는 앞의 글에서 살펴보았다. 어떤 브레이크포인트가 보너스를 받으며 (음수의 페널티를 가지면) 줄바꿈을 하면 그로 인해 생긴 줄들은 보기가 좋고 그로 인해서 메리트를 갖는다고 했다.

(수식들어갑니다. 긴장하세요.)

어떤 줄이 주어지고, 그 줄의 badness를 b라고 하고, 그 줄의 브레이크포인트의 페널티를 p라고하자. 일단 p가 10000 이상이거나 b가 주어진 tolerance나 pretolerance를 초과하지 않는다고 가정하자. 이러한 경우는 텍이 가지고 있는 알고리즘으로 처리할 수 없는 경우이다. 그러면, 각 줄의 디메리트를 구하는 공식은 다음과 같다.

여기서 l은 현재의 \linepenalty의 값이데, 이 값은 주어진 문단의 모든 줄의 baddness에 더해지는 값이다. 플레이텍은 \linepenalty=10으로 정한다. 디메리트 구하는 것을 예로들어보자. 어떤 줄의 badness를 20이고, 그 줄은 글루로 끝난다고 하자. 그러면 플레인텍은 그 줄의 디메리트를 (10+20)^2 = 900 이라고 정할 것이다. 왜냐하면 글루에서 줄바꿈이 일어나므로, 페널티는 0이므로 위의 수식에서 첫번째에 해당한다. 그리고 플레인텍은 \linepenalty의 값을 기본으로 10으로 갖고있기때문에. 위의 수식에 의하면, 주어진 문단의 디메리트들의 총합을 최소화 하는 것은 대충 badness와 페널티들의 제곱의 합을 최소화 하는 것과 같다. 이 말은 다시 각 줄에 대해서 badness를 최소화 하는 것과 같은 말이다!!!!!!!!!!!!!

연습문제 14.11: 위의 디메리트 구하는 공식을 잘 살펴보면, p의 값에 따라서 세개의 구간으로 나뉘어져있는데, p의 값이 -10000 인 경우에 함수가 연속이지 않는다. 그 지점에서 함수가 연속이려면(매끄럽게 이어지려면) 마지막 p가 -10000 이하일 경우 수식은 (l+b)^2 - 10000^2 이어야 할 것이다. 하지만, 그렇지 않다. 이것은 무엇때문일까?

휴~~~ 이제 줄바꿈 알고리즘(줄들의 디메리트의 총합을 최소화하는 것)의 최대 관문인 디메리트를 계산하는 것을 알아보았다. 거의 다 끝났다. 이렇게 나온 디메리트에 그 줄이 처한 환경에 따라서 몇가지 값을을 더하거나 빼주는 작업만이 남았다. 만약 이웃하는 두 줄이 얼마전에 설명한 visually incompatible 하다면, \adjdemerits의 값은 이미 구한 디메리트 d에 더한다. 그리고, 이웃한 두줄이 discretionary break로 끝나면 \doublehyphendemerits를 d에 더한다. 끝으로 문단에서 마지막 두번째 줄이 discretionary로 끝나면, \finalhyphendemerits를 d에 더한다. 플레인텍에서 이러한 값들의 기본값은 \adjdemerits=10000, \doublehyphendemerits=10000, \finalhyphendemerits=5000 이다. badness나 tolerance, penalty의 값들은 대개 그 단위가 비슷하다. 하지만, 방금전에 알아본 디메리트에 관련된 숫자들은 엄청나게 크다. 수식에서도 알수 있듯이 badness의 제곱으로 디메리트를 구하기 때문이다. 진짜 끝이다.